2023安徽皖北协作区高三3月联考数学

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2023安徽皖北协作区高三3月联考数学试卷答案

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12．已知奇函数f（x）的定义域为实数集R，且f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞f（0）对所有的θ∈[0，$\frac{π}{2}$]均成立？若存在，求出适合条件的实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

分析（1）把不等式两边化为同底数，然后利用对数函数的性质转化为一次不等式求解；
（2）直接由对数的运算性质化对数不等式为一元二次不等式组得答案．

解答解：（1）由log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3，得
$lo{g}_{2}x＞-\frac{1}{2}lo{g}_{2}x+3$，即$\frac{3}{2}lo{g}_{2}x＞3$，
解得：x＞4．
∴不等式log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3的解集为（4，+∞）；
（2）由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0，得0＜x²-2x-2＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2＞0}\\{{x}^{2}-2x-3＜0}\end{array}\right.$，解得：-1$＜x＜1-\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}＜x＜3$．
∴不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0的解集为$（-1，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，3）$．

点评本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础的计算题．

2023安徽皖北协作区高三3月联考数学