2023届衡中同卷 信息卷 新高考/新教材(五)数学

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2023届衡中同卷 信息卷 新高考/新教材(五)数学试卷答案

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20．已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，线段MN的中点为E，MN⊥AE，求m的取值范围．

分析直接利用已知条件，转化为椭圆的定义，求解轨迹方程即可．

解答解：定点A（-3，0），切点为N，动圆圆心C，定圆圆心B（3，0），
依题意有：|CA|+|CB|=|CN|+|CB|=8（定值），
所以所求的轨迹为以M，A，B为焦点，长半轴为4，短半轴为$\sqrt{{c^2}-{a^2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$的椭圆，
所以轨迹方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$．

点评本题考查轨迹方程的求法，转化思想的应用，椭圆的定义的应用．

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