2024-2023学年山东新高考联合质量测评高三年级3月联考(2023.3)数学

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2024-2023学年山东新高考联合质量测评高三年级3月联考(2023.3)数学试卷答案

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2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．

分析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁与BE所成角的大小．

解答解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C₁（0，2，1），
B（2，2，0），E（1，2，1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），
设异面直线AC₁与BE所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{BE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{BE}|}$|=|$\frac{2+0+1}{\sqrt{9}•\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴异面直线AC₁与BE所成角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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