2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(四)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(四)数学试卷答案

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18．已知$f（x）=\frac{a•{4}^{x}-{2}^{x+1}-a+1}{{2}^{x}}（a∈R）$，如果存在x₁，x₂∈[-1，1]使得$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≥\frac{a+1}{2}$成立，求a的取值范围．

分析（1）把k=1代入解析式，由对数函数真数必须为正列出不等式，由指数函数的性质求出f（x）的定义域；
（2）由对数函数真数必须为正列出不等式，由指数函数的性质求出f（x）的定义域，根据子集关系列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围．

解答解：（1）把k=1代入得，f（x）=log_a（a-a^x），
由a-a^x＞0得，a^x＜a，
因为a＞1，所以x＜1，
所以函数f（x）的定义域是（-∞，1）；
（2）要使函数f（x）有意义，自变量x须满足：a-ka^x＞0
因为k＞0，所以a^x＜$\frac{a}{k}$，
由a＞1得，x＜log_a$\frac{a}{k}$=1-log_ak
所以函数f（x）的定义域为（-∞，1-log_ak），
又函数f（x）的定义域是集合{x|x≤1}的子集，
所以1-log_ak≤1，则log_ak≥0=log_a1，解得k≥1，
故满足条件的实数k的取值范围为[1，+∞）．

点评本题考查了对数函数的定义域，指数函数的性质，利用集合关系求出参数取值问题，属于中档题．

2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(四)数学