2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(一)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·金卷(一)数学试卷答案

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10．函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{1-{2}^{x}}}$+log₂（2x+4）的定义域为（-2，0）．

分析（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C的方程可化为（x-1）²+y²=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，$b=-1±\sqrt{2}$，当$b=-1-\sqrt{2}$时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．

解答选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数）．
消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．
又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x=0．（5分）
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x-1）²+y²=1，
设与直线l平行的直线为y=x+b，
当直线l与曲线C相切时，有$\frac{{|{1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=1$，即$b=-1±\sqrt{2}$，
于是当$b=-1-\sqrt{2}$时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即$\frac{{|{2-（-1-\sqrt{2}）}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}+1$．
（或先求圆心到直线的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}+1$）（10分）

点评本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．

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