2023届高三全国第七次百校大联考（新教材-L）数学

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2023届高三全国第七次百校大联考（新教材-L）数学试卷答案

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15．幂函数f（x）的图象经过点（$\sqrt{2}$，2），点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上，
（1）求f（x），g（x）的解析式．
（2）x为何值时f（x）＞g（x）？x为何值时f（x）＜g（x）？

分析（1）利用对数运算法则推出x，y的方程，利用基本不等式求出最小值．
（2）利用对数的运算法则推出关系式，然后化简表达式，利用基本不等式求出函数的最值即可．

解答解：（1）1gx+1g（2y）=1g（x+4y+a），可得x＞0，y＞0．
a=6，1gx+1g（2y）=1g（x+4y+a）可得2xy=x+4y+6≥2$\sqrt{4xy}$+6．当且仅当x=4y时取等号，
即xy≥2$\sqrt{4xy}$+6，解得$\sqrt{xy}≥3$，xy≥9，
xy的最小值为：9．
（2）当a=0时，1gx+1g（2y）=1g（x+4y），
可得2xy=x+4y，y=$\frac{x}{2x-4}$，y＞0．x＞2，
x+y+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2y}$=x+$\frac{x}{2x-4}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{x-2}{x}$=x+$\frac{x}{2x-4}$+1=x+$\frac{x-2+2}{2x-4}$+1=x+$\frac{1}{x-2}$+$\frac{3}{2}$=x-2+$\frac{1}{x-2}$+$\frac{5}{2}$≥2$\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}+\frac{5}{2}$=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$，当且仅当x=3时取等号．

点评本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．

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