［福建质检］2023年福建市高三年级4月质检数学

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［福建质检］2023年福建市高三年级4月质检数学试卷答案

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3．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
（3）要使该月用于支付运费和保管费的资金费用最少，每批进货的数量应为多少？

分析先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x，y分别换成得$2{x}^{‘}，\sqrt{3}{y}^{‘}$，由此能求出结果．

解答解：∵极坐标方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴直角坐标方程为：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴经过直角坐标系下的伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，
得到的曲线方程为$\frac{（2{x}^{‘}）^{2}}{4}+\frac{（\sqrt{3}{y}^{‘}）^{2}}{3}$=12，即x^‘2+y^‘2=12，
∴得到的曲线是圆．
故选：D．

点评本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．

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