陕西省2023年中考原创诊断试题（二）数学

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陕西省2023年中考原创诊断试题（二）数学试卷答案

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19．有以下四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1；
③函数y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的单调递减区间是[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5}{6}$π+2kπ]（k∈z）；
④若函数f（x）=x²+2x+2a与g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，则$\int_1^a{f（x）}dx$=$\frac{28}{3}$．

分析（1）设抛物线方程为：y²=2px，代入点P（2，2），即可求抛物线的方程；
（2）从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，取AB中点Q，作QH⊥准线l，H为垂足，结合中位线的定义与抛物线的定义可得答案．

解答（1）解：设抛物线方程为：y²=2px，
代入点P（2，2），可得2²=4p，∴p=1，∴y²=2x．
（2）证明：从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，
取AB中点Q，作QH⊥准线l，H为垂足，根据抛物线定义，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，|AM|+|BN|=|AB|，
QH是梯形AMNB的中位线，|QH|=$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
若以|AB|为直径作圆，则|HQ|是其半径，无论AB位置如何变换，|QH|始终为$\frac{1}{2}$|AB|，且QH⊥准线l，
∴以AB为直径的圆与准线l相切．

点评解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定．

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