[宣城二调]安徽省宣城市2023届高三年级第二次调研测试数学

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[宣城二调]安徽省宣城市2023届高三年级第二次调研测试数学试卷答案

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19．分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距．
（1）x+2y=4；
（2）y=2（x+3）；
（3）y-1=-3（x-2）；
（4）$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{3}$=1．

分析（1）由已知得2a_n+1-2n-2=a_n-n，由此能证明数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（2）求出${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，从而b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答证明：（1）∵数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+n+2，
∴2a_n+1-2n-2=a_n-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}$，
∵${a}_{1}-1=\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
解：（2）∵数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，
∴{b_n}的前n项和：
T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+n，①
2T_n=2²+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+2n，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹-n
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-n-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+n+2．

点评本题考查等比数列的证明，考查等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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