2023高考名校导航冲刺金卷(六)数学

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2023高考名校导航冲刺金卷(六)数学试卷答案

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16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（1）求椭圆的方程；　　　　
（2）若直线l：y=kx+3与椭圆恒有不同交点A、B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1（O为坐标原点），求k的取值范围．

分析（1）根据幂函数的定义，利用待定系数法即可求f（x）与g（x）的解析式；
（2）根据幂函数的图象和性质即可解不等式．

解答解：（1）因为f（x），g（x）均为幂函数，
所以，设f（x）=x^a，g（x）=x^b，
再将（$\sqrt{2}$，2），（-2，$\frac{1}{4}$）分别代入f（x），g（x）得，
$（\sqrt{2}）^{a}$=2，（-2）^b=$\frac{1}{4}$，
解得a=2，b=-2，
所以，f（x）=x²，g（x）=x^-2；
（2）在同一坐标系中，画出f（x），g（x）的图象，如右图，
当f（x）=g（x）时，解得x=1或x=-1，由图可知，
①当x∈（-1，0）∪（0，1）时，f（x）＜g（x）；
②当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f（x）＞g（x）．

点评本题主要考查了幂函数的图象和性质的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．

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