安徽省2023届九年级下学期教学质量监测（六）数学

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安徽省2023届九年级下学期教学质量监测（六）数学试卷答案

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13．设极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴是x轴的正半轴，取相同的单位长度，已知直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，且α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z），圆C的极坐标方程为p=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且圆C与直线l不相交．
（I）求直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=-\frac{2}{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$ （a为参数），点P在曲线C₁上．求点P到直线1距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．

分析（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，可得四边形F₁OMP是平行四边形，又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，可知F₁OMP是菱形，由此可以导出a，b，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率；
（2）运用离心率公式和N满足双曲线的方程，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，
∴四边形F₁OMP是平行四边形，
又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，
可得cos∠POM=cos∠POF₁，
即有∠POM=∠POF₁，
则四边形F₁OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，
∵|F₁O|=|PM|=c，|MN|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴P点的横坐标为-（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
把x=-$\frac{{b}^{2}}{c}$代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-4c²+4a²），
∴|OM|=$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$．
∵四边形F₁OMP是菱形，∴|OM|=|F₁O|，
即$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$=c．
整理得e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或e²=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．
（2）由（1）可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
代入点N（2，$\sqrt{3}$），可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得，a=$\sqrt{3}$，b=3，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评本题考查双曲线的离心率和方程，考查向量的共线和数量积的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．

安徽省2023届九年级下学期教学质量监测（六）数学