高考数学一轮复习讲义微专题《31解三角形的要素》(含详解)

高考数学一轮复习讲义微专题《31解三角形的要素》(含详解)

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1、微专题31 解三角形中的要素一、基础知识：1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式：（1） 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角当时，即为锐角；当（勾股定理）时，即为直角； 当时，即为钝角 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1） （为三角形的底，为对应的高）（2）（3） （为三角形内切圆

2、半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式： （5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意） 证明： ，而 坐标表示：，则4、三角形内角和（两角可表示另一角）。 5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形： 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例

3、： 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）证明：在中 为中点 可得：（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则 证明：过作交于

4、为的角平分线 为等腰三角形 而由可得：二、典型例题：例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_（2）的内角所对的边分别为，若，则_思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理： 代入可解得：。由可得：，所以答案：（2）由已知求可联想到使用正弦定理： 代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件答案：或小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2：在中，若的面积等于，则边长为_思路：通过条件可想到

5、利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出 即可解：答案：例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有 （1）求 （2）若，且的面积为，求 （1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出 解：即 或（舍） （2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可解： 可解得 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为_思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有 和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出 解：由可设则 在中， 在中，由正弦定理可得： 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素

12.下列对原文有关内容的概括和分析,不正确的一项是(3分)A.第一段引用《司马法》和《易经》中的句子,想要说明统治者不能随意发动战争,但是也不能忽视本国军事发展,在无战事时要有忧患意识。B.周公认为做到得民心、有贤德、于民有利这三点,就能不用打仗、不用占卜就知道结果,还能驱使不属于自己的民众。C武王举兵讨伐纣王取得胜利后,看到美玉妇女,就立刻将其全部归还给诸侯。天下的人听说了这些事后,都认为武王是位好君主。D.圣人治理国家时应该先用文德后用武力;而面对那些固执不愿改变的愚人时,无法用纯粹的德行教化他们,便要采用武力的手段。