高考数学一轮复习讲义微专题《37向量的数量积——坐标化解决向量问题》(含详解)

高考数学一轮复习讲义微专题《37向量的数量积——坐标化解决向量问题》(含详解)

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1、微专题37 向量的数量积坐标法 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。一、基础知识1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一。其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时

2、，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则 （可记为“终”“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设，则有：（1）加减运算： （2）数乘运算： （3）数量积运算： （4）向量的模长： 3、向量位置关系的判定：（1）平行： （2）垂直： （3）向量夹角余弦值： 4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形，则可尝试建系

3、的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（等）二、典型例题：例1：在边长为1的正三角形中，设，则_yx思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系：下面求坐标：令由可得： 答案：例2：（2012江苏，9）如图，在矩形中，点为中点，点在边上，若，则的值是_yx思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以为坐标原点如图建系：,设,由在上可得,再由解出:， ，答

4、案：例3：如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，且，则_思路：本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以为轴，过的垂线作为轴可得： 答案： 例4：已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为_思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出坐标，可先设高为。解：以为轴建立直角坐标系，设梯形高为 则，设动点，则 （等号成立：）答案： 小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为

5、了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例5：给定平面上四点满足，则面积的最大值为 思路：由可计算出的夹角，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由可知在以为圆心，半径的圆上。 ， 若要求 的最大值，只需找到到的最大值，数形结合可得距离的最大值为，进而可求出的最大值。解： 即 答案：例6：如图，在直角三角形中，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_思路：直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设，从而可得，而所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解解：以为轴建立直角坐标系，设 数形结合可得：答案： 例7：平面向量满足，则的最小值是_思路：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可解：如图建系可得： 由可得： 而，由轮换对称式不妨设，则 答案： 例8：已知点为等边三

4.新冠病毒是一种含有单链RNA的病毒,新冠病毒和肺炎链球菌感染均可引发人类疾病,但二者的结构不同。下列相关叙述正确的是A.两者的遗传物质均含有核糖和磷酸B.两者均含有核糖体