重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试 高三第二次联合诊断检测数学

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重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试 高三第二次联合诊断检测数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=e^x-m，g（x）=ln（x+m），其中m＞0
（1）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上的一个公共点，求证：x₀=y₀；
（2）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上唯一的公共点，求实数m，x₀的值；
（3）若两个函数图象无公共点，试问存在几条直线与它们都相切？请说明理由．

分析直接根据一元二次方程根与系数的关系推出a=1，b=-2，c=1，d=-2，即可证明等式：（a+b+c+d）²=abcd．

解答证明：记S=a+b+c+d，
∵c，d是方程x²+ax+b=0的解，
∴c+d=-a—-①，cd=b—-②；
又∵a，b是方程x²+cx+d=0的解，
∴a+b=-c—-③，ab=d—-④，
由等式①和③知：a+c+d=a+b+c=0，
于是S=b=d，
因此，等式②变为：cd=d，等式④变为：ab=b，
∵a，b，c，d为非零实数，∴a=c=1，
将a=c=1代回等式①，③得d=-2，b=-2，
即a=1，b=-2，c=1，d=-2，所以S=-2，
故（a+b+c+d）²=4，
且abcd=1×（-2）×1×（-2）=4，
因此，（a+b+c+d）²=abcd．

点评本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，以及运用综合法证明等式，属于中档题．

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