江苏省2023年高三年级4月G4联考数学

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江苏省2023年高三年级4月G4联考数学试卷答案

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12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点（-3，2$\sqrt{6}$）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P为双曲线上的一点，且|PF₁||PF₂|=8，求△PF₁F₂的周长．

分析不妨设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）.2c=4$\sqrt{3}$，由于|PF₁||PF₂|≤13，|PF₁|+|PF₂=2a≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，可得a²，b²=a²-c²，即可得出．

解答解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
2c=4$\sqrt{3}$，解得c=2$\sqrt{3}$．
|PF₁||PF₂|≤13，
|PF₁|+|PF₂=2a≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，可得a²=13，b²=a²-c²=1．
∴该椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{13}+{y}^{2}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{13}+{y}^{2}$=1．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

江苏省2023年高三年级4月G4联考数学