百校联赢·2023年安徽名校过程性评价三数学

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百校联赢·2023年安徽名校过程性评价三数学试卷答案

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1．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为l．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

分析（1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C₂上点的距离的最小值．

解答解：（1）∵在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a为参数），
∴曲线C₁的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）∵P为曲线C₁上的动点，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴点P到C₂上点的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴点P到C₂上点的距离的最小值是$\sqrt{2}$．

点评本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．

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