[绵阳三诊]2023届绵阳市高中2020级第三次诊断性考试数学

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[绵阳三诊]2023届绵阳市高中2020级第三次诊断性考试数学试卷答案

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19．设n是一个正整数，定义n个实数a₁，a₂，…，a_n的算术平均值为$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$．设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的α_z的算术平均值为2016．

分析利用交轨法来求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A₁、A₂点的坐标，设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），求出直线MA₁和NA₂的方程，联立方程，方程组的解为直线MA₁和NA₂交点的坐标，再把M点坐标（x₀，y₀）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹的方程．

解答解：∵A₁、A₂是双曲线的左、右顶点，∴A₁（-a，0），A₂（a，0）
∵MN是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀）
则直线MA₁和NA₂的方程分别为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$（x-a）
联立两方程，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵M（x₀，y₀）在双曲线上，代入双曲线方程，得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1
即直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
故选：A．

点评本题主要考查了交轨法求轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．

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