怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2023年上期高三二模仿真考试数学

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怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2023年上期高三二模仿真考试数学试卷答案

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14．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知$2{S_n}={3^n}+3$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₃a_n，{b_n}的前n项和T_n
①求T_n；
②若P＜T_n＜Q对于n∈N^*恒成立，求P与Q的范围．

分析（I）求出导数，求得切线的斜率和切点，运用已知切线方程，解方程即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由题意可得f（x）=-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$bx²+x的导数f′（x）=-x²-bx+1≥0在x＞1成立，运用参数分离和函数的单调性，可得b的范围；
（Ⅲ）由题意可得x₁，x₂为f′（x）=0的两根，设f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂），g（x）=a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），运用基本不等式求得g（x）的最小值h（a），再由导数判断h（a）的单调性，即可得到所求最大值．

解答解：（I）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x的导数为f′（x）=ax²-bx+1，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为a-b+1=1，即a=b，
切点为（1，$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1），即有$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1=$\frac{1}{6}$，
解方程可得a=b=5；
（Ⅱ）当a=-1时，函数f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，
即为f（x）=-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$bx²+x的导数f′（x）=-x²-bx+1≥0在x＞1成立，
即有b≤$\frac{1}{x}$-x，由$\frac{1}{x}$-x在x＞1递减，可得$\frac{1}{x}$-x＜0，
则b≤0，即有b的取值范围是（-∞，0]；
（Ⅲ）由题意可得x₁，x₂为f′（x）=0的两根，
设f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
g（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+2（x-x₂）=a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），
又x∈（x₁，x₂），a≥2，即有x-x₁+$\frac{2}{a}$＞0，
|g（x）|=|a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$）|=a（x₂-x）（x-x₁+$\frac{2}{a}$）
≤a•（$\frac{{x}_{2}-x+x-{x}_{1}+\frac{2}{a}}{2}$）²=a（1+$\frac{1}{a}$）²=a+$\frac{1}{a}$+2．
g（x）≥-（a+$\frac{1}{a}$+2），当且仅当x₂-x=x-x₁+$\frac{2}{a}$，
即x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{1}{a}$取得等号．
则h（a）=-（a+$\frac{1}{a}$+2），（a≥2），
当a≥2时，h′（a）=-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，h（a）在a≥2递减，
当a=2时，取得最大值，且为-$\frac{9}{2}$．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式成立的条件，以及单调性和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于难题．

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2023年上期高三二模仿真考试数学