NT2023届普通高等学校招生全国统一考试模拟押题试卷(二)数学

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NT2023届普通高等学校招生全国统一考试模拟押题试卷(二)数学试卷答案

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13．已知a∈R，命题p：“?x∈[0，2]，2^x-4^x+a≤0均成立”，命题q：“函数f（x）=ln（x²+ax+1）定义域为R”，
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

分析（1）由已知a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•b_n-b_n=1求出数列首项，得到${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-1}$，结合a_n•a_n-1-2a_n+1=0利用作差法即可证明数列{b_n}是等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，代入a_n•b_n-b_n=1可得数列{a_n}的通项公式．

解答（1）证明：由于a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•a_n+1-2a_n+1=0（n≥2），a_n•b_n-b_n=1．
∴${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
则${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=2$，${a}_{n+1}=2-\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴${b}_{n+1}-{b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1．
整理得：b_n+1-b_n=1．
∴数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列；
（2）解：∵数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴b_n=2+（n-1）=n+1，
代入a_n•b_n-b_n=1，得（n+1）a_n=1+（n+1）=n+2，
∴${a}_{n}=\frac{n+2}{n+1}$．

点评本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．

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