景德镇市2023届高三第三次质量检测(4月)数学

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景德镇市2023届高三第三次质量检测(4月)数学试卷答案

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1．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-$\frac{2}{3}$．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求不等式f（2x）+f（x²-2）＜-4的解集．

分析由已知得△=16a²-16b²＞0，利用列举法求出满足16a²-16b²＞0的所有情况，再由从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有9种情况，利用等可能事件概率计算公式能求出该函数有两个零点的概率．

解答解：∵函数f（x）=2x²-4ax+2b²，该函数有两个零点，
∴△=16a²-16b²＞0，
∵a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，
∴满足16a²-16b²＞0的有：（4，3），（6，3），（6，5），（8，3），（8，5），（8，7），共6种，
从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有9种情况，
∴该函数有两个零点的概率为：p=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

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