攀枝花市2023届高三第三次统一考试(2023.4)数学

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攀枝花市2023届高三第三次统一考试(2023.4)数学试卷答案

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15．设n∈N，且n＞0，试用数学归纳法证明1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

分析画出曲线C：y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1和直线y=x-b的图象，数形结合可得答案．

解答解：曲线C：y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1可化为：x²+（y+1）²=1，（-1≤y≤0），
其图象是如下图所示的半圆，

当0＜b≤2时，直线y=x-b与曲线C只有一个交点，满足条件；
当b=1-$\sqrt{2}$时，直线y=x-b与曲线C相切也只有一个交点，满足条件；
综上所述，b的取值范围是（0，2]∪{1-$\sqrt{2}$}，
故选：D

点评本题考查的知识点是函数的图象，直线与圆的位置关系，难度中档．

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