2023衡水金卷先享题压轴卷答案 山东专版新高考二数学

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20．若函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在点P（2，f（2））处的切线为$y=4x-\frac{10}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．

分析利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），利用二倍角公式化简函数g（x）的解析式为$\sqrt{2}$sin2x，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．

解答解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），函数g（x）=2$\sqrt{2}$sinxcosx=$\sqrt{2}$sin2x，
∴由题意可得：$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{2}$-2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（π-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-π）．
∴φ+$\frac{π}{4}$=-π+kπ+$\frac{π}{2}$，
∴φ=kπ-$\frac{3π}{4}$，由|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{4}$．
故选：D．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．

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