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群力考卷·压轴卷·2023届高三第四次数学试卷答案
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20.若函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在点P(2,f(2))处的切线为$y=4x-\frac{10}{3}$.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论方程f(x)=k实数解的个数.
分析由已知当t=-2时,$|{\vecb-t\veca}|$(t∈R)取最小值$\frac{6}{5}$,利用二次函数的配方法求得$|{\veca}|=\frac{4}{5}$,cos$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$=$-\frac{4}{5}$,展开$\veca•({\vecb-\veca})$后代值得答案.
解答解:由$|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$(t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}})^{2}$$+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$$-\frac{(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b})^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$,
∵当t=-2时,$|{\vecb-t\veca}|$(t∈R)取最小值$\frac{6}{5}$,
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=-2$,$4-\frac{(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b})^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{6}{5}$,
解得:$|{\veca}|=\frac{4}{5}$,cos$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$=$-\frac{4}{5}$,
∴$\veca•({\vecb-\veca})=\veca•\vecb-{\veca^2}=\frac{4}{5}×2×({-\frac{4}{5}})-\frac{16}{25}=-\frac{48}{25}$.
故选:A.
点评本题考查平面向量的数量积运算,解答此题的关键是由t=-2时,$|{\vecb-t\veca}|$(t∈R)取最小值$\frac{6}{5}$求出$|\overrightarrow{a}|$和cos$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$,是中档题.
群力考卷·压轴卷·2023届高三第四次数学
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