成都石室中学2024-2023学年度高三下期高2023届三诊模拟考试数学

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成都石室中学2024-2023学年度高三下期高2023届三诊模拟考试数学试卷答案

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2．点F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为2．

分析由已知数据可得a₁和a₇的方程组，解方程可得a₁和q，再由求和公式可得．

解答解：∵等比数列{a_n}的各项都为正数，其前n和为S_n，且a₁+a₇=9，a₄=2$\sqrt{2}$，
∴a₁a₇=a₄²=8，∴a₁和a₇为方程x²-9x+8=0的两根，
解方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{7}=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{7}=1}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{7}=8}\end{array}\right.$时，公比q满足q⁶=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=8，解得q=$\sqrt{2}$，
S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{1×（1-8）}{1-\sqrt{2}}$=7$\sqrt{2}$+7；
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{7}=1}\end{array}\right.$时，公比q满足q⁶=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{8×（1-\frac{1}{8}）}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=7$\sqrt{2}$+14
故答案为：7$\sqrt{2}$+7或7$\sqrt{2}$+14

点评本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．

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