2024-2023学年安徽省九年级下学期阶段性质量监测（七）数学

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2024-2023学年安徽省九年级下学期阶段性质量监测（七）数学试卷答案

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3．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与x轴相交于点G，且$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，求k的值；
（3）设点A为椭圆的下顶点，k_AC，k_AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k_AC•k_AD=-2．

分析（1）由等比数列的通项公式，结合b_n=log₂a_n化简b₁•b₃•b₅=0得a₅=1且b₅=0，代入b₁+b₃+b₅=6得log₂a₁a₃=6，由此算出a₂=8，解出公比q，即可得出{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）运用对数的运算性质可得b_n，求得c_n=$\frac{1}{n（{b}_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求．

解答解：（1）依题意，a_n=a₁q^n-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴数列{a_n}是单调数列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4，
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1，
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a₃q²=1，即q²=$\frac{1}{4}$，
解之得q=$\frac{1}{2}$（舍负）．
∴a_n=a₅q^n-5=2^5-n；
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
c_n=$\frac{1}{n（{b}_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n项和S_n=-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-（1-$\frac{1}{n+1}$）=-$\frac{n}{n+1}$．

点评本题考查了等比数列的通项公式、对数的定义与运算性质和数列的求和方法：裂项相消求和等知识，属于中档题．

2024-2023学年安徽省九年级下学期阶段性质量监测（七）数学