2023届九师联盟高三年级4月质量检测（新高考-河北）数学

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2023届九师联盟高三年级4月质量检测（新高考-河北）数学试卷答案

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9．函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）=0存在唯一正实数根x₀，则a取值范围是（-∞，-2）．

分析设直线AB的方程为x=ty+m，（m＞0），与抛物线的方程联立，消去x，整理成关于y的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，再由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答解：设直线AB的方程为x=ty+m，（m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得y²-2ty-2m=0，
判别式为4t²+4m＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2m，
∴x₁•x₂=（ty₁+m）•（ty₂+m）=t²y₁•y₂+m²+mt（y₁+y₂）
=-2mt²+m²+2mt²=m²，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=m²-2m=-1，
解方程可得m=1．
故答案为：1．

点评本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．

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