佩佩教育·2023年普通高校统一招生考试 湖南四大名校名师团队猜题卷数学

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佩佩教育·2023年普通高校统一招生考试 湖南四大名校名师团队猜题卷数学试卷答案

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15．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对象x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P．现给出如下结论：
①f（x）=2x²，在[1，3]上具有性质P；
②f（x²）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质P；
③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
④若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
其中正确结论的序号是①④．

分析①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0；
②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
③根据②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x，求出f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，再判断是否存在n值；
④由②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x显然可得结论．

解答解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
∴f（2）=0．f（1）=$\frac{1}{2}$f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=4-x≥0．
若x∈（4，8]时，则$\frac{1}{2}$x∈（2，4]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=8-x≥0．
…
一般地当x∈（2^m，2^m+1），
则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，
∴2ⁿ=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．

点评考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．

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