[咸阳三模]陕西省咸阳市2023年高考模拟检测(三)数学

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[咸阳三模]陕西省咸阳市2023年高考模拟检测(三)数学试卷答案

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4．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴长为4，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点
（1）求椭圆G的方程；
（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

分析由$|\overrightarrow{p}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}）^{2}$，展开后把已知条件代入数量积公式得答案．

解答解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两构成60°角，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=6，
∴$|\overrightarrow{p}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}）^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}+9|\overrightarrow{c}{|}^{2}$$+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+12\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$
=16+16+324+4×4×2×cos60°+6×4×6×cos60°+12×2×6×cos60°
=356+16+72+72=516．
∴|$\overrightarrow{p}$|=$2\sqrt{129}$．
故答案为：$2\sqrt{129}$．

点评本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．

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