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2023年全国高考猜题密卷(二)数学

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试题答案

2023年全国高考猜题密卷(二)数学试卷答案

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2.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),经过点($\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$),且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知斜率存在的动直线l与椭圆C交于不同的点A、B,且△OAB的面积为1,若P为线段AB的中点,问:在x轴上是否存在两个定点M、N,使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值,若存在,求出M、N的坐标,若不存在,说明理由.

分析(1)化简函数f(x),根据x的取值范围求出f(x)的最值;
(2)由题意求出C的值,再利用向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线,以及正弦、余弦定理列方程组,求出a、b的值.

解答解:(1)函数f(x)=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$•sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1,
由0≤x≤$\frac{π}{2}$,得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$;
所以-$\frac{1}{2}$≤sin(2x+$\frac{π}{6}$)≤1,
所以函数f(x)在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值是f(x)max=3,
最小值是f(x)min=0;
(2)由$f(C)=2sin(2C+\frac{π}{6})+1=2$,得$sin(2C+\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$;
而C∈(0,π),所以$2C+\frac{π}{6}∈({\frac{π}{6},\frac{13π}{6}})$,
所以$2C+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$,
解得$C=\frac{π}{3}$;
因为向量$\overrightarrow{m}$与向量$\overrightarrow{n}$共线,所以$\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$;
由正弦定理得:$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$①,
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即a2+b2-ab=9②;
由①②解得$a=\sqrt{3},b=2\sqrt{3}$.

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了正弦、余弦定理的应用问题,考查了平面向量的应用问题,是综合性题目.

2023年全国高考猜题密卷(二)数学

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