江西省2023年初中学业水平练习（三）数学

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江西省2023年初中学业水平练习（三）数学试卷答案

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2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率存在的动直线l与椭圆C交于不同的点A、B，且△OAB的面积为1，若P为线段AB的中点，问：在x轴上是否存在两个定点M、N，使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值，若存在，求出M、N的坐标，若不存在，说明理由．

分析利用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，可得$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，结合不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）对任意非负实数a．b恒成立，即可得出正数λ的取值范围．

解答解：∵$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，
∵不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）对任意非负实数a．b恒成立，λ＞0
∴0＜λ≤1．
故选：A．

点评本题考查正数λ的取值范围，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$是关键．

江西省2023年初中学业水平练习（三）数学