唐山廊坊三模高三5月联考数学

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唐山廊坊三模高三5月联考数学试卷答案

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3．底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB₁上的M点再经过棱CC₁上的N点到A₁点．当所经路径AM-MN-NA₁最短时，AM与A₁N所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

分析先求出没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．

解答解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的$\frac{1}{8}$，
∵正四面体的各棱长均为4，
∴正四面体体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设其棱长为a，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
设小球的半径为r，则4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面积S=4$π•\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}π$．
故选：C

点评本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．

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