2023年广东省高三年级5月联考（578C·G DONG）数学

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2023年广东省高三年级5月联考（578C·G DONG）数学试卷答案

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8．已知{a_n}是各项项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1
（Ⅰ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{S_n²x^n-1}的前n项和T_n．

分析（1）求定义域可知关于原点对称，计算可得f（-x）=-f（x），可得奇函数；
（2）由题意问题转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，由二次函数区间的值域可得．

解答解：（1）由对数有意义可得$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
关于原点对称，又$f（-x）={log_a}\frac{-x-1}{-x+1}={log_a}\frac{x+1}{x-1}$，
∴f（-x）=-f（x），∴函数f（x）为奇函数；
（2）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{（x+1）（7-x）}＞0\\\frac{x-1}{x+1}＞0\\\frac{m}{（x+1）（7-x）}=\frac{x-1}{x+1}\end{array}\right.$，
问题转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴当x=2或6时，m取最小值5，∴当x=4时，m取最大值9，
∴m的取值范围为[5，9]．

点评本题考查函数的零点和方程的根的关系，涉及函数单调性的判定，属中档题．

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