华师—附中 2023年普通高等学校招生全国统一考试 名校联盟·压轴卷(一)数学

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华师—附中 2023年普通高等学校招生全国统一考试 名校联盟·压轴卷(一)数学试卷答案

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7．在极坐标系（ρ，θ）（ρ＞0，0＜θ＜$\frac{π}{2}$）中，曲线ρ=$\sqrt{3}$sinθ与ρ=cosθ的交点的直角坐标系坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

分析（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤6的解集M．
（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a²-9）（9-b²）≤0，而由条件a，b∈M可得（a²-9）（9-b²）≤0成立，从而证得要证的不等式．

解答解：（1）不等式即|x+2|+|x-2|≤6，
而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2、2对应点的距离之和，
-3和3对应点到-2、2对应点的距离之和正好等于6，
故不等式的解集为M=[-3，3]．
（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）²≤（ab+9）²，
即证：9（a+b）²-（ab+9）²=9（a²+b²+2ab）-（a²•b²+18ab+81）=9a²+9b²-a²•b²-81=（a²-9）（9-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-3≤a≤3，-3≤b≤3，
∴（a²-9）≤0，（9-b²）≥0，∴（a²-9）（9-b²）≤0成立，
故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．

点评本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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