伯乐马 2023年普通高等学校招生新高考模拟考试(八)数学

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伯乐马 2023年普通高等学校招生新高考模拟考试(八)数学试卷答案

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10．已知直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）
（1）把曲线C的方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，求实数m的取值范围．

分析设椭圆的标准方程，由椭圆的长轴长为6，焦距为$4\sqrt{2}$，分别求出a，b，c，由此能求出椭圆的标准方程．

解答解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆的长轴长为6，焦距为$4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b²=9-8=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
当焦点在y轴时，设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵椭圆的长轴长为6，焦距为$4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b²=9-8=1，
∴椭圆方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$或${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，易错点是容易忽视焦点在y轴上的椭圆方程．

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