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2023届衡水金卷·先享题·临考预测卷 老高考数学

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试题答案

2023届衡水金卷·先享题·临考预测卷 老高考数学试卷答案

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1.已知集合A={a|a=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$,k∈Z},B=[-π,π],则A∩B={-$\frac{2π}{3}$,-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$}.

分析设公共点P(x0,y0),则lnx0=ax02-a①,f′(x0)=g′(x0),联立消掉a可得关于x0的方程,构造函数,根据函数单调性可求得唯一x0值,进而可求a的值.

解答解:设公共点P(x0,y0),则lnx0=ax02-a①,
f′(x0)=g′(x0),即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax0,化简得1=2ax02②,
联立①②消a得,lnx0=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$,
令φ(x)=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$,φ′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{(x-1)(x+1)}{{x}^{3}}$,
由②可得a>0,
易知φ(x)在(0,1]递减,[1,+∞)上单调递增,又φ(1)=0,
所以φ(x)=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=0有唯一解1,即x0=1,
则y0=ln1=0,a=$\frac{1}{2}$.
故选:C.

点评本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义,考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力,属于中档题.

2023届衡水金卷·先享题·临考预测卷 老高考数学

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