江西省2023年初中学业水平考试冲刺（一）数学

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江西省2023年初中学业水平考试冲刺（一）数学试卷答案

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5．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在区间$（0，\sqrt{a}]$上单调递减，在区间$[\sqrt{a}，+∞）$上单调递增；函数$h（x）={（{x^2}+\frac{1}{x}）^3}+{（x+\frac{1}{x^2}）^3}（x∈[\frac{1}{2}，2]）$
（1）请写出函数f（x）=x²+$\frac{a}{x^2}$（a＞0）与函数g（x）=xⁿ+$\frac{a}{x^n}$（a＞0，n∈N，n≥3）在（0，+∞）的单调区间（只写结论，不证明）；
（2）求函数h（x）的最值；
（3）讨论方程h²（x）-3mh（x）+2m²=0（0＜m≤30）实根的个数．

分析由y=1+cos2α=2cos²α，x=2cosα，能求出曲线C的普通方程．

解答解：∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+cos2α}\end{array}\right.$（α为参数），cosα∈[-1，1]，cos2α∈[-1，1]，
∴y=1+cos2α=2cos²α=$\frac{1}{2}（2cosα）^{2}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，x∈[-2，2]，
∴曲线C的普通方程是y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，x∈[-2，2]．
故答案为：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，x∈[-2，2]．

点评本题考查曲线的普通方程的求法，解题时要认真审题，注意余弦二倍角公式的合理运用，注意自变量的取值范围的确定．

江西省2023年初中学业水平考试冲刺（一）数学