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皖智教育安徽第一卷·省城名校2023年中考最后三模(三)数学试卷答案
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12．已知不等式（2x+y）（$\frac{a}{x}+\frac{1}{y}$）≥25对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
| A． | 16 | B． | 12 | C． | 8 | D． | 4 |
分析（1）由an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项．可得$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}•1}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，即${S}_{n}=\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用递推关系可化为：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，数列{an}是正项数列，可得an-an-1=2．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=ln$\frac{2n}{2n-1}$，可得{bn}的前n项和Tn=$ln\frac{2n•2（n-1）•…4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$，$\frac{1}{2}$lnan+1=ln$\sqrt{2n+1}$．则Tn＞$\frac{1}{2}$lnan+1，即证明$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$，利用数学归纳法证明即可．
解答解：（1）∵an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}•1}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，
即${S}_{n}=\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
当n=1时，a1=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}是正项数列，
∴an-an-1=2．
∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）bn=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=ln$\frac{2n}{2n-1}$，
∴{bn}的前n项和Tn=ln$\frac{2n}{2n-1}$+$ln\frac{2（n-1）}{2n-3}$+…+ln$\frac{4}{3}$+$ln\frac{2}{1}$=$ln\frac{2n•2（n-1）•…4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$，
$\frac{1}{2}$lnan+1=$\frac{1}{2}$ln（2n+1）=ln$\sqrt{2n+1}$．
则Tn＞$\frac{1}{2}$lnan+1，
即证明$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$，
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=2，右边=$\sqrt{3}$，则左边＞右边，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N*）时成立，即$\frac{2k•2（k-1）•…•2}{（2k-1）•（2k-3）•…•1}$＞$\sqrt{2k+1}$．
则当n=k+1时，左边=$\frac{2（k+1）}{2k+1}$•$\frac{2k•2（k-1）•…•2}{（2k-1）•（2k-3）•…•1}$＞$\frac{2（k+1）}{2k+1}$•$\sqrt{2k+1}$=$\frac{2k+2}{\sqrt{2k+1}}$$\frac{\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}}{\sqrt{2k+1}}$$＞\sqrt{\frac{4{k}^{2}+8k+3}{2k+1}}$=$\sqrt{2k+3}$=右边．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：?n∈N*，不等式$\frac{2n•2（n-1）•…•4•2}{（2n-1）（2n-3）•…•3•1}$$＞\sqrt{2n+1}$成立．
点评本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
皖智教育安徽第一卷·省城名校2023年中考最后三模(三)数学
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