2023年普通高等学校招生全国统一考试·专家猜题卷(五)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·专家猜题卷(五)数学试卷答案

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12.土壤微生物具有参与腐殖质形成、促进土壤养分循环等生态服务功能,是衡量土壤肥力和土壤质量健康的指标之一,生物菌剂的使用会促进相关细菌的生长。下列叙述错误的是()A.土壤微生物通过降解有机肥及秸秆为植物供能实现养分循环B.土壤微生物群落之间因为争夺“营养”而存在一定的竞争关系C.生物菌剂施用后可能增强了土壤细菌对碳、氮等养分的竞争D.生物菌剂施用会改变土壤中的微生物群落结构,改变其丰富度

分析（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式可得S_n，进而解出不等式．

解答解：（1）当n=1时，S₁=a₁=2+a≠0，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，
∵{a_n}是等比数列，
∴${a_1}=2+a={2^{1-1}}=1$，即a₁=1，a=-1，
∴数列{a_n}的通项公式我${a_n}={2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（2）由（1）得${b_n}={log_4}{a_n}+1=\frac{n+1}{2}$，
∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为$d=\frac{1}{2}$的等差数列，
∴${S_n}=n{b_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d=\frac{{{n^2}+3n}}{4}$．
由2S_n≤5得n²+3n-10≤0，即-5≤n≤2，
又n∈N^*，∴所求不等式的解集为{1，2}．

点评本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的定义通项公式及其前n项和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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