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2023年陕西省初中学业水平考试·模拟联考卷A数学试卷答案
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19.定义行列式运算:$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3,函数f(x)=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{cos2x}\\{1}&{sin2x}\end{array}|$,则要得到函数f(x)的图象,只需将y=2cos2x的图象( )( )
A. | 向左平移$\frac{2π}{3}$个单位 | B. | 向左平移$\frac{π}{3}$个单位 | ||
C. | 向右平移$\frac{2π}{3}$个单位 | D. | 向右平移$\frac{π}{3}$个单位 |
分析(1)根据题意和Sn与an的关系式,化简求出{an}的递推公式,代入$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$化简后,根据等比数列的定义即可证明结论成立;
(2)由(1)和等比数列的通项公式求出bn,代入bn=an+2求出an,代入${a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n+1}}^{2}$化简后可证明结论成立;
(3)由(2)求出nan,根据分组求和法、错位相减法,等比、等差数列的前n项和公式求出Tn.
解答证明:(1)当n=1时,S1=2a1-2得,a1=2…(1分)
当n≥2时,Sn=2an-2n,且Sn-1=2an-1-2(n-1),
所以Sn-Sn-1=2an-2an-1-2,
化简得an=2an-1+2…(3分)
因为bn=an+2,所以$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{{2a}_{n-1}+2+2}{{a}_{n-1}+2}$=2,
由a1=2得,b1=a1+2=4,
所以数列{bn}是以2为公比、4为首项的等比数列,…(4分)
(2)由(1)得bn=4•2n-1=2n+1,所以an=2n+1-2…(6分)
因为${a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n+1}}^{2}$=(2n+1-2)(2n+3-2)-(2n+2-2)2
=(22n+4-2n+2-2n+4+4)-(22n+4-4•2n+2+4)
=-2n+2<0———————————(8分)
所以${a}_{n}{a}_{n+2}≤{{a}_{n+1}}^{2}$————————(9分)
解:(3)由(1)得,an=2n+1-2,所以nan=n•2n+1-2n,
则Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1-2(1+2+…+n)
=1•22+2•23+…+n•2n+1-2×$\frac{n(n+1)}{2}$
=1•22+2•23+…+n•2n+1-n(n+1),—–(10分)
设S=1•22+2•23+…+n•2n+1,①
2S=1•23+2•24+…+n•2n+2,②
由①-②得:-S=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=$\frac{4(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+2=2n+2-4-n•2n+2
=(1-n)2n+2-4,
所以S=(n+1)2n+2+4————————(12分)
所以Tn=(n+1)2n+2+4-n(n+1)————–(14分)
点评本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式,Sn与an的关系式,以及分组求和法、错位相减法,考查作差法证明不等式成立,属于中档题.
2023年陕西省初中学业水平考试·模拟联考卷A数学
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