2023年“江南十校”高二阶段联考（5月）数学

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2023年“江南十校”高二阶段联考（5月）数学试卷答案

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19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆长轴的取值范围是（　　）

分析（1）由x=ρcosαy=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圆C₁，C₂的极坐标方程，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρ=4sinθ}\end{array}\right.$，能求出圆C₁，C₂交点的极坐标．
（2）求出圆C₁，C₂交点的直角坐标，得到圆C₁与C₂公共弦过点（$\sqrt{3}$，1），倾斜廨$α=\frac{π}{6}$，由此能求出圆C₁与C₂公共弦的参数方程．

解答解：（1）由x=ρcosαy=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
得圆C₁：x²+y²=4的极坐标方程为ρ=2，
圆C₂：x²+（y-2）²=4，即C₂：x²+y²=4y的极坐标方程为ρ=4sinθ，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρ=4sinθ}\end{array}\right.$，得：ρ=2，θ=±$\frac{π}{6}$，
∴圆C₁，C₂交点的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵圆C₁，C₂交点的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$），
∴圆C₁，C₂交点的直角坐标为$（\sqrt{3}，1）$，（$\sqrt{3}$，-1）．
∴圆C₁与C₂公共弦过点（$\sqrt{3}$，1），斜率k=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$α=\frac{π}{6}$，
∴圆C₁与C₂公共弦的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$．

点评本题考查圆的极坐标方程及其交点的极坐标的求法，考查圆的公共弦的参数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程互化公式的合理运用．

2023年“江南十校”高二阶段联考（5月）数学