2024届衡中同卷 调研卷 全国甲卷A 理科数学(四)4答案

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22.(1)证明：当a=一b=1时，f(x)=xe.令h(x)=e一(x十1)(x>0),则h'(x)=e-1>0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递增，且h(0)=0,所以h(x)=e一(x十1)>0，即e>x十1.…1分令p(x)=x-lnx(x>0),则p(r)=1-】=二1，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单调递增，且o(1)=1,所以(x)=x一lnx≥1>0，所以江>n，…2分所以当x∈(0，十o∞)时，有xe>x(x十1)>(x+1)lnx,所以当x∈(0，十0∞)时，f(x)>g(x).…4分(2)解：因为3b∈[一1,0]，使f(x)≥g(x)恒成立，令(b)=axe+(a十b)x,只需(b)mx≥g(x),即a.xer十ax≥(1十x)lnx在x∈(0，十o∞)上恒成立，…6分整理得a.x(e十1)≥(x十1)lnx=lnx(enr十1).(*)…7分设F(x）=x(e十1)，则F(x)=e(x十1)十1.…8分又F”(x)=(x十2)e,可得x>一2时，F”(x)>0,F(x)单调递增：x
<一2时，f"(x)
0，所以F(x）在R上单调递增。……10分所以(*)式即F(ax)≥F(lnx),所以ax≥lnx,即a≥n11分设G(x)=1n,x>0,则G(x)=1-h工，令G(x)=0,解得r=e.当0
<x
0,函数G(x)单调递增；当x>e时，G(x)<0,函数G(x)单调递减.所以G(x)=G(e)=。,所以a>是所以实数a的取值范围为[一，十∞).12分
</x
</一2时，f"(x)

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20.解：1)依題意有，P(C)=C×號×(1-1)5211252P(D)品××+×Cx×是-品又事件C與D相互獨立，則P(CD)=P(C)P(D)=523131125323000所以P(CD)=1330005分(2)設A組中服用甲種中藥康復的人數為X,則X~B(3,導，所以EX)=3×號-號設A組的積分為X2,則X2=2X1,所以E(X2)=2E(X1)=2657分設B組中服用乙種中藥康復的人數為Y,,則PY=o)=0××-而PY-1D-品××+×C××-品PY=2)=C×品××+b××-P(Y=3)=××-81故Y:的分佈列為Y0123P1156381160160160160所以EY,)=0×+1X品+2×0+3638138412160160…10分設B組的積分為Y2,則Y2=2Y1,所以EY,)=E(2Y)=2E(Y)=2411分因為得>告所以甲種中藥藥性更好。……………………………12分