耀正文化(湖南四大名校联合编审)·2023届名校名师测评卷(九)9数学

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耀正文化(湖南四大名校联合编审)·2023届名校名师测评卷(九)9数学试卷答案

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4．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴长为4，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点
（1）求椭圆G的方程；
（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

分析（1）根据二倍角的余弦公式可以先分别求出${\overrightarrow{a}}^{2}=4co{s}^{2}\frac{α}{2}，{\overrightarrow{b}}^{2}=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$，根据α，β的范围可以求出$\frac{α}{2}，\frac{β}{2}$的范围，从而可以得出$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2}，|\overrightarrow{b}|=2sin\frac{β}{2}$；
（2）根据向量夹角的余弦公式及二倍角公式便可得到$cos{θ}_{1}=cos\frac{α}{2}，cos{θ}_{2}=cos（\frac{β}{2}-\frac{π}{2}）$，上面已得出$\frac{α}{2}，\frac{β}{2}$的范围，这样可以求出$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$的范围，结合向量夹角的范围便可以得到${θ}_{1}=\frac{α}{2}，{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$，从而可以求出$\frac{α-β}{4}$，从而得出$sin\frac{α-β}{4}$的值．

解答解：（1）证明：${\overrightarrow{a}}^{2}=（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α$=$2（1+cosα）=4co{s}^{2}\frac{α}{2}$；
∵α∈（0，π）；
∴$\frac{α}{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2}$；
${\overrightarrow{b}}^{2}=2（1-cosβ）=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$；
β∈（π，2π）；
∴$\frac{β}{2}∈（\frac{π}{2}，π）$；
∴$|\overrightarrow{b}|=2sin\frac{β}{2}$；
（2）根据条件，$cos{θ}_{1}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{1+cosα}{2cos\frac{α}{2}}=\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}{2cos\frac{α}{2}}=cos\frac{α}{2}$，$cos{θ}_{2}=\frac{1-cosβ}{2sin\frac{β}{2}}=sin\frac{β}{2}=cos（\frac{π}{2}-\frac{β}{2}）$=$cos（\frac{β}{2}-\frac{π}{2}）$；
∵$\frac{α}{2}∈（0，\frac{π}{2}），\frac{β}{2}∈（\frac{π}{2}，π）$，$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴${θ}_{1}，{θ}_{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴${θ}_{1}=\frac{α}{2}，{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$；
∴${θ}_{1}-{θ}_{2}=\frac{α}{2}-\frac{β}{2}+\frac{π}{2}=\frac{π}{6}$；
∴$\frac{α-β}{4}=-\frac{π}{6}$；
∴$sin（\frac{α-β}{4}）=-\frac{1}{2}$．

点评考查二倍角的余弦公式，向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及三角函数的诱导公式．

耀正文化(湖南四大名校联合编审)·2023届名校名师测评卷(九)9数学