23.解：(1)f(x)≥2即|x+a|+1x-21≥2，
因为lx+a|+x-21≥x+a-(x-2)1=1a+21,
所以f(x)=x+al+1x-21≥丨1a+2丨
又a>1,所以a+2>3,
所以不等式f(x)≥2的解集为R.
(2)因为x∈[1,2]，所以f(x)=x+a|+2-x.
则f(x)+x≤4恒成立等价于1x+a|≤2恒成立，
即-2-x≤a≤2-x恒成立.
由x∈[1,2]可得-2-x∈[-4，-3]，2-x∈[0,1]，
所以-3≤a≤0.
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