江西省2024~2023学年度高一6月份联考(23-511A)数学

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江西省2024~2023学年度高一6月份联考(23-511A)数学试卷答案

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12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（-2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

分析（1）由于tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，解出即可．

解答解：（1）∵tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，
又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，
化为7sin²α-150sinα+48=0，
解得sinα=$\frac{75-\sqrt{5289}}{7}$．

点评本题考查了三角函数求值、倍角公式、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

江西省2024~2023学年度高一6月份联考(23-511A)数学