非凡吉创 2024-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考数学

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非凡吉创 2024-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考数学试卷答案

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6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1-2|x-$\frac{1}{2}$|，则函数g（x）=f[f（x）]-$\frac{4}{3}$x在区间[-2，2]内不同的零点个数是（　　）

分析由题意和数量积的运算可得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，再由诱导公式和二倍角公式整体可得cos（$\frac{2π}{3}$-x）=1-2cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），代值计算可得．

解答解：∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-x）=cos[π-（x+$\frac{π}{3}$）]=-cos（x+$\frac{π}{3}$）
=1-2cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．

点评本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和整体思想，属基础题．

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