2023届普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·全国卷YX-E(一)数学

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2023届普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·全国卷YX-E(一)数学试卷答案

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17．已知角θ∈（0，2π），关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$-1）x+m=0的两根为sinθ，cosθ．
（1）求m的值；
（2）求方程的两根及此时θ的值．

分析作图，从而可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；从而可得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；从而求数量积即可．

解答解：作图如右图，
由题意得，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；
△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•y=1，
即$\sqrt{3}$y=1，
故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1解得，
x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{8}{3}$-3+$\frac{1}{3}$=0，
故答案为：0．

点评本题考查了椭圆的简单性质的判断与应用，同时考查了平面向量的应用．

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