名师卷2023届普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷(一)1数学

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名师卷2023届普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷(一)1数学试卷答案

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20．函数f（x）=a^x-3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标为（　　）

分析将向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$转化为以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$的式子，计算|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²，又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$），展开即可得到所求值．

解答解：|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²=（$\overrightarrow{AB}$）²-（$\overrightarrow{BC}$）²+（$\overrightarrow{CD}$）²-（$\overrightarrow{DA}$）²
=（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）²-（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）²+（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$）²-（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OD}$）²
=2（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$）
=4-9+16-49=-38，
即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-19，
又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$=19．
故答案为：19．

点评本题考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．

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