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名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(二)数学

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试题答案

名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(二)数学试卷答案

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7.已知|$\overrightarrow{a}$|=4,|$\overrightarrow{b}$|=6,<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>=$\frac{π}{4}$,求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.

分析原不等式可等价为:arctana-a≤arctanb-b,只需构造函数f(x)=arctanx-x,再运用函数的单调性证明不等式.

解答证明:∵正切函数y=tanx在(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$)上单调递增,
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增,
不妨设,a≥b,原不等式可化为:arctana-arctanb≤a-b,
因此,原不等式等价为:arctana-a≤arctanb-b,—–①
要证不等式①成立,只需构造函数,f(x)=arctanx-x,x∈R,
f’(x)=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立,
所以,f(x)在R上单调递减,
由于a≥b,所以f(a)≤f(b),
即arctana-a≤arctanb-b,
所以,|arctana-arctanb|≤|a-b|.
说明:本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明.

点评本题主要考查了运用导数证明不等式,涉及正切,反正切函数的性质,导数的运算,以及函数单调性的确定,属于中档题.

名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(二)数学

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