2023衡水金卷先享题压轴卷答案 新高考一数学

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2023衡水金卷先享题压轴卷答案 新高考一数学试卷答案

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19．有以下四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1；
③函数y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的单调递减区间是[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5}{6}$π+2kπ]（k∈z）；
④若函数f（x）=x²+2x+2a与g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，则$\int_1^a{f（x）}dx$=$\frac{28}{3}$．

分析（1）利用赋值法即可求f（0），再证明f（0）≠0，问题得以解决；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数，
（3）先求出f（1）=-1，再令a=x，b=1，则f（1+x）+f（1-x）=2f（1）f（x）=-2f（x）=2f（x），即可证明f（x+1）=f（x），根据f（x）为偶函数，即可证明．

解答解：（1）令a=b=0，
则f（0）+f（0）=2f（0）f（0），
解得f（O）=0，或f（0）=1，
当f（0）=0时，令a=x，b=0，
则f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，
∴f（x）=0，这与函数f（x）不是常函数相矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1，
（2）令a=0，b=x，
则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，
（3）令a=b=1，
则f（2）+f（0）=2f（1）f（1），
∴f²（1）=1，
∵f（1）≠1，
∴f（1）=-1，
再令a=x，b=1，
则f（1+x）+f（1-x）=2f（1）f（x）=-2f（x）=2f（x），
若f（x+1）=f（x）成立，则f（x-1+1）=f（x-1），即f（x）=f（x-1），
∴f（1+x）+f（1-x）=2f（x），
∴f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=-f（x）．

点评本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键，属于中档题．

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