重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷(八)数学

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重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷(八)数学试卷答案

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7．用符号“＞”、“＞”、“=”填空：
${log}_{{5}^{3}}$＜${log}_{{5}^{7}}$；
${log}_{{8}^{1}}$=${log}_{{7}^{1}}$；
${log}_{{\frac{1}{2}}^{5}}$＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{5}$；
ln0.3＜0；
${log}_{{0.1}^{2}}$＜0；
lg$\frac{1}{3}$＜lg10．

分析设公共点P（x₀，y₀），则lnx₀=ax₀²-a①，f′（x₀）=g′（x₀），联立消掉a可得关于x₀的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x₀值，进而可求a的值．

解答解：设公共点P（x₀，y₀），则lnx₀=ax₀²-a①，
f′（x₀）=g′（x₀），即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀，化简得1=2ax₀²②，
联立①②消a得，lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
令φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$，φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{3}}$，
由②可得a＞0，
易知φ（x）在（0，1]递减，[1，+∞）上单调递增，又φ（1）=0，
所以φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=0有唯一解1，即x₀=1，
则y₀=ln1=0，a=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．

重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷(八)数学